{"id":4570,"date":"2022-08-27T12:03:26","date_gmt":"2022-08-27T03:03:26","guid":{"rendered":"https:\/\/i-kiin.net\/?p=4570"},"modified":"2023-01-09T16:46:29","modified_gmt":"2023-01-09T07:46:29","slug":"ktb-convexity-formula","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/i-kiin.net\/?p=4570","title":{"rendered":"KTB Convexity Formula"},"content":{"rendered":"

\u203b 2022\ub144 12\uc6d4 25\uc77c wordpress database \uc77c\ubd80 \ub9dd\uc2e4\ub85c \ubcf5\uad6c \uc911\uc774\ub098 100% \ubcf5\uad6c\ub294 \ud798\ub4e4 \uac83\uc73c\ub85c \uc608\uc0c1<\/strong> \uc911… \ud2b9\ud788 \ubcf8 \uae00\uc740 \ub0b4\uc6a9 \uc0c1 \uc2dc\uac04\uc774 \uc544\uc8fc \uc624\ub798 \uac78\ub9b4 \ub4ef…<\/del>\ud588\uc5c8\uc73c\ub098 Wayback Machine<\/a>\uc758 \ub3c4\uc6c0\uc73c\ub85c 100% \ubcf5\uad6c \ud6c4 \ub0b4\uc6a9 \uc544\uc8fc \uc544\uc8fc \ucabc\uae08 \uc218\uc815!!!
\n<\/strong><\/span><\/p>\n

\n

\uba3c\uc800 \ub300\ud55c\ubbfc\uad6d \uad6d\uace0\ucc44\uc778 KTB\uc758 \uac00\uaca9 \uad6c\ud558\ub294 \uacf5\uc2dd\uc740 Bond Price, Duration, Convexity<\/a> \uae00\uc5d0\uc11c \uba85\uae30\ud55c \uc544\ub798 \uacf5\uc2dd \\( (\uac00) \\) <\/span>1<\/sup><\/a><\/span>\uc640 \uac19\uc73c\uba70 \uc774\ub97c \ud1a0\ub300\ub85c \\( \\; Convexity=\\displaystyle \\frac { d^2P }{ dy^2 } \\cdot \\displaystyle \\frac { 1 }{ P } \\; \\) \uc2dd\uc744 \ub3c4\ucd9c\ud574\ubcf4\uace0\uc790 \ud55c\ub2e4. \uba3c\uc800<\/p>\n\\( P=\\frac { \\displaystyle 1 }{ \\left ( \\displaystyle 1+ \\frac { \\displaystyle d_1 }{ \\displaystyle t_1 } \\times \\frac { \\displaystyle y }{ \\displaystyle f } \\right ) } \\times \\left [ \\displaystyle \\sum_{ i=0 }^{ n-1 } \\frac { \\frac{ \\displaystyle CF_i }{ \\displaystyle f } }{ \\left( 1 + \\frac { \\displaystyle y }{ \\displaystyle f } \\right )^{ i }} + \\frac { \\displaystyle A }{ \\left( 1 + \\frac { \\displaystyle y }{ \\displaystyle f } \\right)^{ n-1 }} \\right ] \\quad \\quad (\uac00) \\)\n

 <\/p>\n

\\( (\uac00) \\)\uc5d0\uc11c \\( \\frac { \\displaystyle d_1 }{ \\displaystyle t_1 } = a \\), \\( \\frac { \\displaystyle 1 }{ \\displaystyle f } = b \\), \\( \\frac { \\displaystyle CF_i }{ \\displaystyle f } = c \\) \ub77c\uace0 \ud560 \uacbd\uc6b0 \uc544\ub798\uc640 \uac19\uc774 \uc4f8 \uc218 \uc788\uace0<\/p>\n\\( P=\\frac { \\displaystyle 1 }{ \\left ( \\displaystyle 1+ \\displaystyle aby \\right ) } \\times \\left [ \\displaystyle \\sum_{ i=0 }^{ n-1 } \\frac { \\displaystyle c }{ \\left ( 1 + \\displaystyle by \\right )^{ i }} + \\frac { \\displaystyle A }{ \\left ( 1 + by \\right )^{ n-1 }} \\right ] \\)\n

 <\/p>\n

\uc774\ub97c \ub2e4\uc2dc \ud45c\ud604\ud558\uba74, \uc544\ub798\uc640 \uac19\ub2e4.<\/p>\n\\( P=\\left ( \\displaystyle 1+ \\displaystyle aby \\right )^{ -1 } \\times \\left [ \\displaystyle \\sum_{ i=0 }^{ n-1 } \\displaystyle c\\, \\left ( 1 + \\displaystyle by \\right )^{ -i } + \\displaystyle A\\, \\left ( 1 + by \\right )^{ -n+1 } \\right ] \\qquad \\qquad (1) \\)\n

 <\/p>\n

\uc0c1\uae30 \\( (1)\\; \\)\uc5d0 \ub300\ud574 \uc544\ub798\uc758 2 \uac00\uc9c0 \ubbf8\ubd84 \uaddc\uce59\uc744 \uc5fc\ub450\uc5d0 \ub450\uace0<\/p>\n\\( \\begin{eqnarray}
\n\u2460 \\; y &=& \\left \\{ f \\left ( x \\right ) \\right \\}^n &&&\\&&&& y’ &=& n \\,\\cdot \\left \\{ f \\left ( x \\right ) \\right \\}^{ n-1 } \\, \\cdot f’ \\left ( x \\right ) \\\\
\n\u2461 \\; y &=& \\left \\{ f \\left ( x \\right ) \\cdot g \\left ( x \\right ) \\right \\} &&&\\&&&& y’ &=& f’ \\left ( x \\right ) \\cdot g \\left ( x \\right ) + f \\left ( x \\right ) \\cdot g’ \\left ( x \\right ) \\\\ \\end{eqnarray} \\)\n

 <\/p>\n

\uc544\ub798\uc640 \uac19\uc774 4 \uac00\uc9c0\ub97c \uac00\uc815\ud558\uba74<\/p>\n\\( \\begin{eqnarray}
\n\u2460 \\; h \\left ( y \\right ) &=& \\left ( 1+ aby \\right )^{ -1 } \\\\ &\\& \\\\ h’ \\left( y \\right ) &=& -a \\cdot b \\cdot \\left ( 1+ aby \\right )^{ -2 } &=& -a \\cdot b \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\\\
\n\\\\\\\\
\n\u2461 \\; n \\left ( y \\right ) &=& \\left ( 1+ by \\right )^{ -1 } \\\\
\n&\\& \\\\
\nn’ \\left( y \\right ) &=& – b \\cdot \\left ( 1+ by \\right )^{ -2 } &=& – b \\cdot \\left \\{ n \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\\\
\n\\\\\\\\
\n\u2462 \\; k \\left ( y \\right ) &=& \\sum_{ i=0 }^{ n-1 } \\left ( 1 + by \\right )^{ -i } \\\\
\n&\\& \\\\
\nk’ \\left ( y \\right ) &=& – b \\cdot i \\cdot \\sum_{ i=0 }^{ n-1 } \\left ( 1 + by \\right )^{ -i-1 } &=& – b \\cdot i \\cdot \\left ( 1 + by \\right )^{ -1 } \\cdot k \\left ( y \\right ) \\\\
\n& & &=& – b \\cdot i \\cdot n \\left ( y \\right ) \\cdot k \\left ( y \\right ) \\\\
\n\\\\\\\\
\n\u2463 \\; m \\left ( y \\right ) &=& \\left ( 1 + by \\right )^{ -n+1 } \\\\
\n&\\& \\\\
\nm’ \\left ( y \\right ) &=& – b \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot \\left ( 1 + by \\right )^{ -n } &=& – b \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot \\left ( 1 + by \\right )^{ -1 } \\cdot m \\left ( y \\right ) \\\\
\n& & &=& – b \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot n \\left ( y \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\\\
\n\\end{eqnarray} \\)\n

 <\/p>\n

\\( (1)\\; \\)\uc740 \uc544\ub798\uc640 \uac19\ub2e4.<\/p>\n\\( P = h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad (2) \\)\n

 <\/p>\n

\\( (2)\\; \\)\uc5d0 \ub300\ud574 1\ucc28 \ubbf8\ubd84\uc744 \uad6c\ud558\uba74<\/p>\n\\( \\begin{eqnarray}
\nP &=& h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n\\\\
\n\\frac { dP }{ dy } &=& h’ \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] + h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ]’ \\\\
\n&=& -a \\cdot b \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n& & + h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot k’ \\left ( y \\right ) + A \\cdot m’ \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n\\\\
\n&=& – a \\cdot b \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n& & + h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot -b \\cdot i \\cdot \\left ( 1 + by \\right )^{ -1 } \\cdot k \\left ( y \\right ) \\right . \\\\
\n& & \\quad \\quad \\quad + \\left . A \\cdot – b \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot \\left ( 1 + by \\right )^{ -1 } \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n\\\\
\n&=& – a \\cdot b \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n& & – b \\cdot \\left ( 1 + by \\right )^{ -1 } \\cdot h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n\\\\
\n&=& – a \\cdot b \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n& & – b \\cdot n \\left ( y \\right ) \\cdot h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n\\end{eqnarray} \\)\n

 <\/p>\n

\uc640 \uac19\ub2e4. \uc5ec\uae30\uc11c<\/p>\n\\( X \\left ( y \\right ) = – a \\cdot b \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\nY \\left ( y \\right ) = -b \\cdot n \\left ( y \\right ) \\cdot h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\)\n

 <\/p>\n

\ub77c\uace0 \uac00\uc815\ud558\uba74<\/p>\n\\( \\begin{eqnarray}
\n\\displaystyle \\frac { dP }{ dy } &=& X \\left ( y \\right ) + Y \\left ( y \\right ) \\\\
\n\\frac { d^{ 2 } P }{ dy^{ 2 } } &=& X’ \\left ( y \\right ) + Y’ \\left ( y \\right ) \\\\
\nX’ \\left ( y \\right ) &=& -2 \\cdot a \\cdot b \\cdot h \\left ( y \\right) \\cdot h’ \\left ( y \\right) \\cdot \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n& & – a \\cdot b \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot \\left [ c \\cdot k’ \\left ( y \\right ) + A \\cdot m’ \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n\\\\
\n&=& 2 \\cdot a^{ 2 } \\cdot b^{ 2 } \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 3 } \\cdot \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n& & – ab \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot \\left [ c \\cdot -bi \\cdot n \\left ( y \\right ) \\cdot k \\left ( y \\right ) \\right . \\\\
\n& & \\quad \\quad \\quad \\quad + \\left . A \\cdot – b\\, \\left ( n-1 \\right ) \\cdot n \\left ( y \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n\\\\
\n&=& 2 \\cdot a^{ 2 } \\cdot b^{ 2 } \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 3 } \\cdot \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n& & + a \\cdot b^{ 2 } \\cdot n \\left ( y \\right ) \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n\\\\
\nY’ \\left ( y \\right ) &=& – b \\cdot n’ \\left ( y \\right ) \\cdot h \\cdot \\left ( y \\right ) \\left [ c \\cdot i \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n& & – b \\cdot n \\left ( y \\right ) \\cdot h’ \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n& & – b \\cdot n \\left ( y \\right ) \\cdot h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot k’ \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m’ \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n\\\\
\n&=& b^{ 2 } \\cdot \\left \\{ n \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n& & + a \\cdot b^{ 2 } \\cdot n \\left ( y \\right ) \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n& & – b \\cdot n \\left ( y \\right ) \\cdot h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot -bi \\cdot n \\left ( y \\right ) \\cdot k \\left ( y \\right ) \\right . \\\\
\n& & \\quad \\quad \\quad \\quad + \\left . A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot – b\\, \\left ( n-1 \\right ) \\cdot n \\left ( y \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n\\\\
\n&=& b^{ 2 } \\cdot \\left \\{ n \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n& & + a \\cdot b^{ 2 } \\cdot n \\left ( y \\right ) \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n& & + b^{ 2 } \\cdot \\left \\{ n \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot i^{ 2 } \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right )^{ 2 } \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n\\end{eqnarray} \\)\n

 <\/p>\n

\uc640 \uac19\uc774 \ud45c\ud604\uc774 \ub41c\ub2e4. \uc774\ub97c \uc815\ub9ac\ud558\uba74<\/p>\n\\( \\begin{eqnarray}
\n\\displaystyle \\frac { d^{ 2 } P }{ dy^{ 2 } }
\n&=& \\Bigg ( 2 \\cdot a^{ 2 } \\cdot b^{ 2 } \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 3 } \\cdot \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n& & + a \\cdot b^{ 2 } \\cdot n \\left ( y \\right ) \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\Bigg ) \\\\
\n\\
\n& + \\\\
\n\\
\n& & \\Bigg ( b^{ 2 } \\cdot \\left \\{ n \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n& & + a \\cdot b^{ 2 } \\cdot n \\left ( y \\right ) \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n& & + b^{ 2 } \\cdot \\left \\{ n \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot i^{ 2 } \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right )^{ 2 } \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\Bigg ) \\\\
\n\\\\\\\\
\n\\displaystyle \\frac { d^{ 2 } P }{ dy^{ 2 } }
\n&=& 2 \\cdot a^{ 2 } \\cdot b^{ 2 } \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 3 } \\cdot \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n& & + 2 \\cdot a \\cdot b^{ 2 } \\cdot n \\left ( y \\right ) \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n& & + b^{ 2 } \\cdot \\left \\{ n \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n& & + b^{ 2 } \\cdot \\left \\{ n \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot i^{ 2 } \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right )^{ 2 } \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] \\\\
\n\\end{eqnarray} \\)\n

\uc640 \uac19\ub2e4.<\/p>\n

\uc774\ub97c \ud1a0\ub300\ub85c \\( Convexity \\; \\)\ub294<\/p>\n\\( \\begin{eqnarray}
\nConvexity
\n&=& \\frac { d^{ 2 } P }{ dy^{ 2 } } \\cdot \\frac { 1 }{ P } \\\\
\n\\\\
\n&=& { \\small \\frac { 2 \\cdot a^{ 2 } \\cdot b^{ 2 } \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 3 } \\cdot \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] }{ P } } \\\\
\n&+& { \\small \\frac { 2 \\cdot a \\cdot b^{ 2 } \\cdot n \\left ( y \\right ) \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] }{ P } } \\\\
\n&+& { \\small \\frac { b^{ 2 } \\cdot \\left \\{ n \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] }{ P } } \\\\
\n&+& { \\small \\frac { b^{ 2 } \\cdot \\left \\{ n \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot i^{ 2 } \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right )^{ 2 } \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] }{ P } } \\\\
\n\\\\
\nConvexity
\n&=& { \\small \\frac { 2 \\cdot a^{ 2 } \\cdot b^{ 2 } \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 3 } \\cdot \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] }{ h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] } } \\\\
\n&+& { \\small \\frac { 2 \\cdot a \\cdot b^{ 2 } \\cdot n \\left ( y \\right ) \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] }{ h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] } } \\\\
\n&+& { \\small \\frac { b^{ 2 } \\cdot \\left \\{ n \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] }{ h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] } } \\\\
\n&+& { \\small \\frac { b^{ 2 } \\cdot \\left \\{ n \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot i^{ 2 } \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right )^{ 2 } \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] }{ h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] } } \\\\
\n\\\\
\nConvexity
\n&=& { \\normalsize 2 \\cdot a^{ 2 } \\cdot b^{ 2 } \\cdot \\left \\{ h \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } } \\\\
\n&+& { \\small \\frac { 2 \\cdot a \\cdot b^{ 2 } \\cdot n \\left ( y \\right ) \\cdot h \\left ( y \\right ) \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] }{ \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] } } \\\\
\n&+& { \\small \\frac { b^{ 2 } \\cdot \\left \\{ n \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot \\left [ c \\cdot i \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] }{ \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] } } \\\\
\n&+& { \\small \\frac { b^{ 2 } \\cdot \\left \\{ n \\left ( y \\right ) \\right \\}^{ 2 } \\cdot \\left [ c \\cdot i^{ 2 } \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot \\left ( n-1 \\right )^{ 2 } \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] }{ \\left [ c \\cdot k \\left ( y \\right ) + A \\cdot m \\left ( y \\right ) \\right ] } } \\\\
\n\\end{eqnarray} \\)\n

 <\/p>\n

\ub85c \uc815\ub9ac\ub41c\ub2e4. \uc774\ub97c \uc6d0\ub798\uc758 \uc2dd\uc73c\ub85c \ub098\ud0c0\ub0b4\uba74, \ucd5c\uc885 \\( Convexity \\; \\)\ub294 \ub2e4\uc74c\uacfc \uac19\ub2e4.<\/p>\n\\( \\begin{eqnarray}
\nConvexity
\n&=& \\frac { 2 \\cdot d_1^{ 2 } }{ t_1^{ 2 } \\cdot f^{ 2 } \\cdot \\left ( 1 + \\frac { d_1 }{ t_1 } \\cdot \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ 2 } } \\\\
\n&+& { \\scriptsize \\frac { 2 \\cdot d_1 \\cdot \\left [ \\displaystyle \\sum_{ i=0 }^{ n-1 } \\frac { \\frac { CF_i }{ f } \\cdot i }{ \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ i } } + \\frac { A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) }{ \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ n-1 } } \\right ] }{ t_1 \\cdot f^{ 2 } \\cdot \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right ) \\cdot \\left ( 1 + \\frac { d_1 }{ t_1 } \\cdot \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right ) \\cdot \\left [ \\displaystyle \\sum_{ i=0 }^{ n-1 } \\frac { \\frac{ CF_i }{ f } }{ \\left( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ i }} + \\frac { A }{ \\left( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right)^{ n-1 }} \\right ] } } \\\\
\n&+& { \\small \\frac { \\left [ \\displaystyle \\sum_{ i=0 }^{ n-1 } \\frac { \\frac { CF_i }{ f } \\cdot i }{ \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ i } } + \\frac { A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) }{ \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ n-1 } } \\right ] }{ f^{2} \\cdot \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ 2 } \\cdot \\left [ \\displaystyle \\sum_{ i=0 }^{ n-1 } \\frac { \\frac{ CF_i }{ f } }{ \\left( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ i }} + \\frac { A }{ \\left( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right)^{ n-1 }} \\right ] } } \\\\
\n&+& { \\small \\frac { \\left [ \\displaystyle \\sum_{ i=0 }^{ n-1 } \\frac { \\frac { CF_i }{ f } \\cdot i^{ 2 } }{ \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ i } } + \\frac { A \\cdot \\left ( n-1 \\right )^{ 2 } }{ \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ n-1 } } \\right ] }{ f^{2} \\cdot \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ 2 } \\cdot \\left [ \\displaystyle \\sum_{ i=0 }^{ n-1 } \\frac { \\frac{ CF_i }{ f } }{ \\left( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ i }} + \\frac { A }{ \\left( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right)^{ n-1 }} \\right ] } } \\\\
\n\\\\
\nConvexity
\n&=& \\frac { 2 \\cdot d_1^{ 2 } }{ t_1^{ 2 } \\cdot f^{ 2 } \\cdot \\left ( 1 + \\frac { d_1 }{ t_1 } \\cdot \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ 2 } } \\\\
\n&+& { \\small \\frac { 1 }{ f^{ 2 } \\cdot \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ 2 } \\cdot \\left [ \\displaystyle \\sum_{ i=0 }^{ n-1 } \\frac { \\frac{ CF_i }{ f } }{ \\left( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ i }} + \\frac { A }{ \\left( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right)^{ n-1 }} \\right ] } } \\\\
\n&\\times& { \\small \\left [ \\frac { 2 \\cdot d_1 \\cdot \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right ) }{ t_1 \\cdot \\left ( 1 + \\frac { d_1 }{ t_1 } \\cdot \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right ) } \\cdot \\left \\{ \\displaystyle \\sum_{ i=0 }^{ n-1 } \\frac { \\frac { CF_i }{ f } \\cdot i }{ \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ i } } + \\frac { A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) }{ \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ n-1 } } \\right \\} \\right . } \\\\
\n& & \\quad + { \\small \\left . \\left \\{ \\displaystyle \\sum_{ i=0 }^{ n-1 } \\frac { \\frac { CF_i }{ f } \\cdot i }{ \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ i } } + \\frac { A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) }{ \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ n-1 } } \\right \\} \\right . } \\\\
\n& & \\quad + { \\small \\left . \\left \\{ \\displaystyle \\sum_{ i=0 }^{ n-1 } \\frac { \\frac { CF_i }{ f } \\cdot i^{ 2 } }{ \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ i } } + \\frac { A \\cdot \\left ( n-1 \\right )^{ 2 } }{ \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ n-1 } } \\right \\} \\right ] } \\\\
\n\\\\
\nConvexity
\n&=& \\frac { 2 \\cdot d_1^{ 2 } }{ t_1^{ 2 } \\cdot f^{ 2 } \\cdot \\left ( 1 + \\frac { d_1 }{ t_1 } \\cdot \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ 2 } } \\\\
\n&+& { \\normalsize \\frac { 1 }{ P } \\cdot \\frac { 1 }{ f^{ 2 } \\cdot \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ 2 } \\cdot \\left ( 1 + \\frac { d_1 }{ t_1 } \\cdot \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right ) } } \\\\
\n&\\times& { \\small \\left [ \\frac { 2 \\cdot d_1 \\cdot \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right ) }{ t_1 \\cdot \\left ( 1 + \\frac { d_1 }{ t_1 } \\cdot \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right ) } \\cdot \\left \\{ \\displaystyle \\sum_{ i=0 }^{ n-1 } \\frac { \\frac { CF_i }{ f } \\cdot i }{ \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ i } } + \\frac { A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) }{ \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ n-1 } } \\right \\} \\right . } \\\\
\n& & \\quad + { \\small \\left . \\left \\{ \\displaystyle \\sum_{ i=0 }^{ n-1 } \\frac { \\frac { CF_i }{ f } \\cdot i }{ \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ i } } + \\frac { A \\cdot \\left ( n-1 \\right ) }{ \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ n-1 } } \\right \\} \\right . } \\\\
\n& & \\quad + { \\small \\left . \\left \\{ \\displaystyle \\sum_{ i=0 }^{ n-1 } \\frac { \\frac { CF_i }{ f } \\cdot i^{ 2 } }{ \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ i } } + \\frac { A \\cdot \\left ( n-1 \\right )^{ 2 } }{ \\left ( 1 + \\frac { 1 }{ f } \\cdot y \\right )^{ n-1 } } \\right \\} \\right ] } \\\\
\n\\end{eqnarray} \\)\n

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