Skip to content

4

일반적으로 옵션의 이론적인 가격은 변동성 에 의해 결정되며 옵션의 (이론)가격=와 같이 표현된다.

하지만, 실제 시장에서 형성되는 옵션의 가격은 수요자와 공급자, 즉, 매수자와 매도자에 의해 가격이 형성되다보니 이론적으로 산출한 이론가격과 괴리를 나타낼 수밖에 없고 이에 따라 실제 형성된 옵션의 가격을 뒷받침해주는 변동성1을 산출하려는 시도2)가 꾸준히 이어져왔다. 본 글에서는 제목에서 언급한 Newton-Rapshon Method를 이용하여 옵션, 그 중에서도 지수옵션3의 내재 변동성을 산출하는 일련의 흐름을 알아보고 개발 새발 작성된 본인의 관련 C source도 같이 알아본다.

먼저 시장에서 형성된 옵션의 가격은 [그림 1]과 같이 표현될 수 있다.

사용자 삽입 이미지
[그림 1]에서 보면, 형성된 가격은 와 같고 이 가격을 형성하는 변동성은 임을 알 수 있다. 또한 에서의 기울기는 옵션 민감도4 중의 하나인 가 되는데, 이 가 곧 일 때의 옵션의 가격인 에서의 1차 도함수 값이 된다. 그런데, 문제는 옵션의 가격인 는 시장에서 확인이 되지만, 그 가격을 형성한 의 값은 모른다는 것이다. 그래서 이 를 찾기 위해 시행착오법(Trial & Error Method)을 통해 를 구해야 하기에 위 [그림 1]을 아래 [그림 2]처럼 약간 변경해준다.

사용자 삽입 이미지
어차피 Newton-Raphson Method가 미분을 활용하여 '해'에 접근하는 방법이기 때문에 [그림 2]로부터 과 같은 식을 도출할 수 있게 된다. 이 식을 토대로 옵션의 가격 의 해인 에 근접하는 를 오차 범위 5 내에 도달할 때까지 반복해서 산출한다.

이 방법을 토대로 개발 새발 작성된 C source는 아래와 같다.

사용자 삽입 이미지
Newton-Raphson Method C Source

위 source에서 Options_TP, VegaO 등의 함수는 각각 이론가격 산출 및 민감도 Vega 산출 함수이다.

덧.: 시행착오법의 한계인 ''로의 '수렴'이 아니라 '발산'이 이루어질 경우, '근사해'를 구할 수 없게 되기 때문에 iteration에 제한을 두고 있다.